Matematický krúžok

Hlavné odvetvia matematiky vznikli z potreby robiť výpočty pre účely obchodu, merať pozemky a predpovedať astronomické udalosti. Tieto tri potreby približne zodpovedajú rozdeleniu matematiky na štúdium štruktúry, priestoru a zmeny.

Štúdium štruktúry začína pojmom čísla. Najskôr boli známe prirodzené a celé čísla a ich aritmetické operácie, ktoré sú zahrnuté v elementárnej algebre. Zložitejšie vlastnosti celých čísel skúma teória čísel. Skúmanie metód na riešenie rovníc viedlo k vzniku abstraktnej algebry, ktorá okrem iného skúma štruktúry ako okruhy a polia, ktoré zovšeobecňujú vlastnosti dobre známych aritmetických operácií na číslach. Vektor je pojem dôležitý vo fyzike. Lineárna algebra, ktorá študuje vektory a ich zovšeobecnenie, vektorové priestory, sa nachádza na priesečníku štúdia štruktúry a priestoru.

Štúdium priestoru vychádza z geometrie. Najskôr sa rozvíjala euklidovská geometria a trigonometria dobre známeho trojrozmerného priestoru. Neskôr bola euklidovská geometria zovšeobecnená na neeuklidovské geometrie, ktoré majú dôležitú úlohu v všeobecnej teórii relativity. Niekoľko ťažkých geometrických problémov týkajúcich sa konštrukcií pomocou pravítka a kružidla bolo vyriešených pomocou Galoisovej teórie. Moderné odvetvia diferenciálnej a algebrickej geometrie rozširujú geometriu v nových smeroch. Diferenciálna geometria sa sústredí na pojmy funkcie, derivácie a smeru, kým algebrická geometria definuje geometrické objekty ako množiny riešení polynomiálnych rovníc. Teória grúp skúma pojem symetrie, spája štúdium priestoru a štruktúry. Topológia spája štúdium priestoru a zmeny s dôrazom na koncept kontinuity.

Prírodné vedy často skúmajú zmenu merateľných veličín a matematická analýza na to poskytuje užitočné nástroje. Základným pojmom používaným na popísanie zmeny je pojem funkcie. Mnohé problémy sa dajú vyjadriť ako vzťah medzi veličinou a rýchlosťou jej zmeny. Metódy na riešenie takýchto vzťahov skúma odbor diferenciálnych rovníc. Spojité veličiny sú reprezentované reálnymi číslami. Vlastnosti reálnych čísel a funkcií nad reálnymi číslami skúma reálna analýza. Z viacerých príčin sa často hodí pracovať s komplexnými číslami, ktoré študuje komplexná analýza. Funkcionálna analýza sa zaoberá priestormi funkcií, ktoré majú väčšinou nekonečne veľa rozmerov. Toto štúdium poskytuje okrem iného matematický základ kvantovej mechaniky. Teória chaosu vznikla z dôvodu, že mnohé z prírodných javov tvoria dynamické systémy, ktoré majú nepredpovedateľné ale deterministické správanie.

Teória množín, matematická logika a teória modelov vznikli s cieľom skúmať základy matematiky.

Keď vznikla myšlienka počítačov, matematici zaviedli niekoľko dôležitých teoretických pojmov, ktoré viedli k vzniku odborov ako teória vypočítateľnosti, teória výpočtovej zložitosti, teória informácie a algoritmická teória informácie. Tieto odbory sú dnes časťou teoretickej informatiky. Diskrétna matematika je spoločné meno pre odbory matematiky obzvlášť užitočné v informatike.

Dôležitým odborom aplikovanej matematiky je štatistika, ktorá používa teóriu pravdepodobnosti ako nástroj na opis, analýzu a predpoveď javov a používa sa vo všetkých vedách. Numerická analýza skúma metódy na efektívne riešenie rôznych matematických problémov na počítačoch a zaokrúhľovacie chyby, ktoré pri numerickom riešení vznikajú.